RPC定位模型产生背景
卫星成像期间卫星繁琐的姿态控制导致影像的严格几何模型（所谓严格几何模型是指基于传统共线方程的严格几何模型）形式极其复杂，要利用其提取地球空间三维信息，需要在向用户提供影像的同时把卫星详细的轨道星历、传感器成像参数、成像方式等信息一并交付，并且最终用户需要具有摄影测量的专业知识和复杂的应用处理系统。为了降低对用户专业水平的需求，扩大用户范围，同时保护卫星的核心技术参数不被泄露，RPC定位模型应运而生。
RPC定位模型的作用
如上文所说，RPC模型的作用主要体现在以下几个方面：
- 实现了对传感器成像核心参数信息的保密，同时还保证了定位精度。
- 采用RPC模型作为成像几何模型，可以不提供原始影像，只销售经几何校正后的影像产品。
- RPC模型形式简单，使用方便，降低了对终端用户专业知识的要求，扩大了用户群范围。
RPC定位模型原理
RPC（Rational Polynomial Coefficient）表示有理多项式系数，RPC模型实质是有理函数模型（Rational Function Model-RFM）。它可建立起像点和空间坐标之间的关系，不需要内外方位元素，回避成像的几何过程，可以广泛用于线阵影像处理中。RFM将像点坐标表示为相应地面点空间坐标为自变量的多项式的比值。为了增强参数求解的稳定性，将地面坐标和影像坐标正则化到-1和1之间。其定义如下：
\[c = \frac{Numc(u,v,w)}{Denc(u,v,w)} , r=\frac{Numr(u,v,w)}{Denr(u,v,w)}\]其中\(Numc(u,v,w)\)、\(Denc(u,v,w)\)、\(Numr(u,v,w)\)、\(Denr(u,v,w)\)都是如下多项式形式：
\[p=a_{1}+a_{2}V+a_{3}U+a_{4}W\\+a_{5}VU +a_{6}VW+a_{7}UW+a_{8}V^{2}\\+a_{9}U^{2}+a_{10}W^{2} +a_{11}UVW+a_{12}V^{3}\\+a_{13}VU^{2}+a_{14}VW^{2}+a_{15}V^{2}U +a_{16}U^{3}\\+a_{17}UW^{2}+a_{18}V^{2}W+a_{19}U^{2}W+a_{20}W^{3}\]\((u,v,w)\)是标准化以后的地面点空间坐标（纬度φ、经度λ和高程h），\((c,r)\)是标准化后的像点坐标。
\[\left\{\begin{matrix}U=(\varphi -\varphi _{0})/\varphi _{s} \\ V=(\lambda -\lambda_{0})/\lambda_{s} \\ W=(h-h _{0})/h_{s} \end{matrix}\right.\] \[\left\{\begin{matrix}c=(C-C_{0})/C_{s} \\ r=(R-R_{0})/R_{s} \end{matrix}\right.\]式中，\((\varphi_{0},\lambda_{0},h_{0},C_{0},R_{0})\)为标准化平移参数，\((\varphi_{s},\lambda_{s},h_{s},C_{s},R_{s})\)为标准比例参数，它们与RPC模型中4个多项式的80个系数共90个参数共同保存在卫星厂家提供给用户的RPC文件中。
在RFM中，由光学投影引起的畸变表示为一阶多项式。而像地球曲率、大气折射及镜头畸变等特征，由二阶多项式逼近。高阶部分的其它未知畸变用三阶多项式模拟。
RPC定位模型系数解算
根据控制点的不同获取方式，有理函数模型的建立可分为“地形相关”和“地形无关”两种方案。
“地形相关”方案是指利用实测的地面控制点直接结算RPC参数。
“地形无关”方案则是在建立严格几何模型后，通过对严密模型生成的三维控制格网的最小二乘拟合，从而计算出RPC参数。
实验表明，“地形相关”方案得到的RFM模型稳定性、实用性较差。
因此RPC模型的建立一般采用“独立于地形”的方式，即首先利用星载GPS测定的卫星轨道参数及恒星相机获取的星历参数、惯性测量单元测定的姿态参数建立严格几何模型；之后，利用严格模型生成大量均匀分布的虚拟地面控制点，再利用这些控制点计算RPC模型参数，其实质是利用RPC模型拟合严格几何模型。构建三维格网的基本方法为：
- 将影像均分为m行、n列，得到(m+1)×(n+1)个均匀分布的像点
- 将影像覆盖区域的高程均分为k层，每层具有相同的高差h，并都有上述(m+1)×(n+1)个像素点，于是产生了(m+1)×(n+1)×k个在平面、高程上均匀分布的格网点，并且各点的像坐标(R,C)及高程h已知。
- 利用严密几何模型，根据各格网点的像坐标(R,C)和高程h，计算出\((\varphi,\lambda)\)，这样就得到(m+1)×(n+1)×k个格网点的全部坐标。
RPC模型的立体定位
基本原理
联立上述公式，可将原始像点坐标\((C,R)\)表示为：
\[\left\{\begin{matrix} C=C_{s}\cdot F(\varphi,\lambda,h)+C_{0} \\R=R_{s}\cdot G(\varphi,\lambda,h)+R_{0} \end{matrix}\right.\]其中：
\[\left\{\begin{matrix} F(\varphi,\lambda,h)=\frac{Numc(u,v,w)}{Denc(u,v,w)}\\ G(\varphi,\lambda,h)=\frac{Numr(u,v,w)}{Denr(u,v,w)} \end{matrix}\right.\]将上式泰勒展开为一次项，于是求解地面点空间坐标\((\varphi,\lambda,h)\)的误差方程为：
\[\left\{\begin{matrix} v_{c}=\frac{\partial C}{\partial \varphi}\Delta \varphi+\frac{\partial C}{\partial \lambda}\Delta \lambda+\frac{\partial C}{\partial h}\Delta h -(C-C)\\ v_{r}=\frac{\partial R}{\partial \varphi}\Delta \varphi+\frac{\partial R}{\partial \lambda}\Delta \lambda+\frac{\partial R}{\partial h}\Delta h -(R-R) \end{matrix}\right.\]式中，C、R利用\(\varphi,\lambda,h\)每次迭代的近似值带入求出。
初值的确定
由于上式采用线性化后的误差方程，所以\(\varphi,\lambda,h\)的解算需要迭代进行，其初始值\((\varphi^{(0)},\lambda^{(0)},h^{(0)})\)可利用RPC模型的一次项计算，也可以简单取为正则化平移参数的平均值：
\[\left\{\begin{matrix} \varphi^{(0)}=\frac{\varphi_{0l}+\varphi_{0r}}{2}\\ \lambda^{(0)}=\frac{\lambda_{0l}+\lambda_{0r}}{2}\\ h^{(0)}=\frac{h_{0l}+h_{0r}}{2}\\ \end{matrix}\right.\]共线方程
共线方程解决的的是像空间与物方空间的坐标相互转换的问题。其基本的思想是像点、物点和投影中心三点共线。
\[\left\{\begin{matrix} x-x_{0}=-f\frac{a_{1}(X_{A}-X_{S})+b_{1}(Y_{A}-Y_{S})+c_{1}(Z_{A}-Z_{S})}{a_{3}(X_{A}-X_{S})+b_{3}(Y_{A}-Y_{S})+c_{3}(Z_{A}-Z_{S})}\\ y-y_{0}=-f\frac{a_{2}(X_{A}-X_{S})+b_{2}(Y_{A}-Y_{S})+c_{2}(Z_{A}-Z_{S})}{a_{3}(X_{A}-X_{S})+b_{3}(Y_{A}-Y_{S})+c_{3}(Z_{A}-Z_{S})}\\ \end{matrix}\right.\]式中：
\(x,y\)为像点的像平面坐标
\(x_{0},y_{0},f\)为影像的内方位元素
\(X_{S},Y_{S},Z_{S}\)为测站点的物方空间坐标
\(X_{A},Y_{A},Z_{A}\)为物方点的物方空间坐标
\(a_{i},b_{i},c_{i}\)为影像的三个外方位角元素组成的9个方向余弦。
内方位元素
确定摄影机的镜头中心（严格来说应该是镜头的像方节点）相对于影像位置关系的参数，称为影像的内方位元素。包括：像主点（主光轴在影像面上的垂足）相对于影像中心的位置\(x_{0},y_{0}\)以及镜头中心到影像面的垂距\(f\)。内方位元素一般由相机检校确定。
外方位元素
确定影像或摄影光束在摄影瞬间的空间位置和姿态的参数，称为影像的外方位元素。一幅影像的外方位元素包括6个参数，其中3个是线元素，用于描述摄影中心S相对于物方空间坐标系的位置\(X_{S},Y_{S},Z_{S}\)，另外三个是角元素，用于描述影像面在摄影瞬间的空中姿态。如\(\varphi,\omega,\kappa\)，表示以Y轴为主轴旋转φ角，然后绕X轴旋转ω角，最后绕Z轴旋转κ角。
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